Ряд, называемый также бесконечная сумма — одно из центральных понятий математического анализа. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:
a
1
+
a
2
+
a
3
+
…
+
a
n
+
…
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad }
Краткая запись:
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
Здесь
a
1
,
a
2
,
a
3
…
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots }
— последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.
Чтобы присвоить числовому ряду значение суммы, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:
S
1
=
a
1
{\displaystyle S_{1}=a_{1}}
S
2
=
a
1
+
a
2
{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}
S
3
=
a
1
+
a
2
+
a
3
{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}
⋯
{\displaystyle \cdots }
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}}
⋯
{\displaystyle \cdots }
Если последовательность частичных сумм имеет предел
S
{\displaystyle S}
(конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна
S
.
{\displaystyle S.}
При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.
Числовые ряды и их обобщения (см. ниже о нечисловых рядах) используются повсеместно в математическом анализе для вычислений, для анализа поведения разнообразных функций, при решении алгебраических или дифференциальных уравнений. Разложение функции в ряд можно рассматривать как обобщение задания вектора координатами, эта операция позволяет свести исследование сложной функции к анализу элементарных функций и облегчает численные расчёты. Ряды — незаменимый инструмент исследования не только в математике, но и в физике, астрономии, информатике, статистике, экономике и других науках.
Содержание 1 Числовые ряды 1.1 Примеры
1.2 Классификация
1.3 Абсолютная и условная сходимость
1.4 Операции над рядами
1.5 Необходимый признак сходимости числового ряда
1.6 Сходящиеся ряды
1.7 Нерешённые проблемы 2 Ряды с нечисловыми членами 2.1 Общее определение
2.2 Функциональные ряды 2.2.1 Определение и свойства
2.2.2 Равномерная сходимость 2.3 Ряды матриц 3 Вариации и обобщения
4 История 4.1 Античный период
4.2 Керальская школа
4.3 XVII век
4.4 XVIII—XIX века 5 Примечания
6 Литература
7 Ссылки
Ряды динамки